Задание 4. Окружность и прямая задаются соответственно уравнениями $(x+2)^2+(y+1)^2=16$ и $x+y-1=0$. 1. Запишите координаты центра окружности и длину её диаметра (6 баллов). 2. Найдите точки пересечения прямой с осями координат (6 баллов). 3. Найдите точки пересечения окружности и прямой (12 баллов). 4. Найдите точки пересечения окружности с осями координат (15 баллов).

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 4. Окружность и прямая задаются соответственно уравнениями $(x+2)^2+(y+1)^2=16$ и $x+y-1=0$. 1. Запишите…$ Фото задания

Задание 4. Окружность и прямая задаются соответственно уравнениями $(x+2)^2+(y+1)^2=16$ и $x+y-1=0$. 1. Запишите координаты центра окружности и длину её диаметра (6 баллов). 2. Найдите точки пересечения прямой с осями координат (6 баллов). 3. Найдите точки пересечения окружности и прямой (12 баллов). 4. Найдите точки пересечения окружности с осями координат (15 баллов).

Accepted Answer

Сравним уравнение окружности с видом $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$. Получаем центр $C(-2,-1)$, радиус $R=4$, поэтому диаметр $d=2R=8$.
На оси $Ox$ имеем $y=0$: из $x+y-1=0$ следует $x=1$, точка пересечения — $(1,0)$.
На оси $Oy$ имеем $x=0$: тогда $y=1$, точка пересечения — $(0,1)$.
Из уравнения прямой $y=1-x$. Подставим в уравнение окружности:
$(x+2)^2+(2-x)^2=16$.
Раскрываем скобки: $2x^2+8=16$, откуда $x^2=4$ и $x=2$ или $x=-2$.
При $x=2$, $y=-1$; при $x=-2$, $y=3$. Точки пересечения: $(2,-1)$ и $(-2,3)$.
Для пересечения с осью $Ox$ подставляем $y=0$: $(x+2)^2+1=16$, поэтому $(x+2)^2=15$, $x=-2\pm\sqrt{15}$. Точки: $(-2-\sqrt{15},0)$ и $(-2+\sqrt{15},0)$.
Для пересечения с осью $Oy$ подставляем $x=0$: $4+(y+1)^2=16$, поэтому $(y+1)^2=12$, $y=-1\pm2\sqrt{3}$. Точки: $(0,-1-2\sqrt{3})$ и $(0,-1+2\sqrt{3})$.

Ответ: 1) центр $(-2,-1)$, диаметр 8; 2) $(1,0)$, $(0,1)$; 3) $(2,-1)$, $(-2,3)$; 4) $(-2\pm\sqrt{15},0)$, $(0,-1\pm2\sqrt{3})$.