Задание 4. Отрезок АВ равен 4 см. Можно ли считать срединный перпендикуляр этого отрезка геометрическим местом точек, которые: А) удалены от А и В на 2 см; Б) удалены от А и В на одинаковые расстояния; В)* являются вершинами равнобедренных треугольников с основанием АВ?

Решение:

Давай разберемся с заданием по пунктам.

Геометрическое место точек (ГМТ) – это множество всех точек, которые удовлетворяют заданному условию. Срединный перпендикуляр к отрезку AB – это прямая, которая проходит через середину отрезка AB и перпендикулярна ему.

• А) удалены от А и В на 2 см;

Точки, удаленные от А и В на одинаковое расстояние, образуют две дуги (или окружности), каждая из которых имеет центр в одной из точек (А или В) и радиус, равный этому расстоянию. В данном случае, если расстояние равно 2 см, то мы получим две окружности радиусом 2 см с центрами в А и В. Пересечение этих окружностей даст нам точки, удовлетворяющие условию. Эти точки, как правило, НЕ лежат на срединном перпендикуляре (если только расстояние не равно половине длины отрезка). Точки срединного перпендикуляра равноудалены от А и В, но это расстояние не обязательно равно 2 см. Если бы расстояние было равно 2 см (половине отрезка AB), то точки были бы только две - середина отрезка, что не образует прямую.

• Б) удалены от А и В на одинаковые расстояния;

Это классическое определение срединного перпендикуляра! Любая точка, лежащая на срединном перпендикуляре к отрезку AB, равноудалена от его концов A и B. И наоборот, любая точка, равноудаленная от A и B, лежит на срединном перпендикуляре.

• В)* являются вершинами равнобедренных треугольников с основанием АВ?

Равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого две стороны равны. Если AB – основание, то боковые стороны AC и BC должны быть равны (AC = BC). Точка C, являющаяся вершиной такого треугольника, будет равноудалена от точек A и B. Следовательно, такая точка C лежит на срединном перпендикуляре к отрезку AB. Таким образом, срединный перпендикуляр – это множество всех возможных вершин равнобедренных треугольников с основанием AB.

Ответ:

• А) Нет.
• Б) Да.
• В)* Да.