Задание 4. Постройте графики следующих функций и опишите их основные свойства: 1) $y=2\arcsin x-1$; 2) $y=-2\arccos x+1$; 3) $y=-\arctg x$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 4. Постройте графики следующих функций и опишите их основные свойства: 1) $y=2\arcsin x-1$; 2) $y=-2\arccos x+1$;…$ Фото задания

Задание 4. Постройте графики следующих функций и опишите их основные свойства: 1) $y=2\arcsin x-1$; 2) $y=-2\arccos x+1$; 3) $y=-\arctg x$.

Accepted Answer

Для построения используем области определения и характерные точки каждой функции. Обозначения: $\arctg x=\arctan x$.

1) $y=2\arcsin x-1$

Область определения: $[-1;1]$, поскольку аргумент арксинуса должен принадлежать $[-1;1]$. Так как $\arcsin x\in[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}]$, область значений после преобразования равна $[-\pi-1;\pi-1]$. Функция нечётная $2\arcsin x$, сдвинутая вниз на 1, поэтому данная функция не является ни чётной, ни нечётной. Она строго возрастает.

Нули: $2\arcsin x-1=0$, откуда $x=\sin\frac12$. Пересечение с осью $Oy$: $(0;-1)$. График непрерывен на $[-1;1]$, ограничен, периодичности нет. Ключевые точки: $(-1;-\pi-1)$, $(0;-1)$, $(1;\pi-1)$.

2) $y=-2\arccos x+1$

Область определения: $[-1;1]$. Поскольку $\arccos x\in[0;\pi]$, область значений: $[1-2\pi;1]$. Функция строго возрастает: $\arccos x$ строго убывает, а умножение на $-2$ меняет направление монотонности. Она не является ни чётной, ни нечётной. Нуль: $\arccos x=\frac12$, значит $x=\cos\frac12$. Пересечение с $Oy$: $(0;1-\frac{\pi}{2})$. Функция непрерывна и ограничена на области определения, непериодична. Ключевые точки: $(-1;1-2\pi)$, $(0;1-\frac{\pi}{2})$, $(1;1)$.

Схематический эскиз второго графика передаёт возрастание и крайние точки; промежуточная форма определяется выражением с $\arccos x$.

3) $y=-\arctg x$

Область определения: $\mathbb R$. Область значений: $(-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2})$. Функция нечётная, поскольку арктангенс нечётен; строго убывает на всей числовой прямой. Нуль и пересечение осей: $(0;0)$. Горизонтальные асимптоты: $y=\frac{\pi}{2}$ при $x\to-\infty$ и $y=-\frac{\pi}{2}$ при $x\to+\infty$. Функция непрерывна, ограничена, непериодична. Характерные точки: $(-1;\frac{\pi}{4})$, $(0;0)$, $(1;-\frac{\pi}{4})$.

Эскизы качественные: оси и значения показаны схематично, не в едином числовом масштабе.

Задание 4. Постройте графики следующих функций и опишите их основные свойства: 1) \(y=2\arcsin x-1\); 2) \(y=-2\arccos x+1\); 3) \(y=-\arctg x\).

Ответ: