Задание №4. Преобразуйте произведение в сумму б) cos \(\frac{\pi}{12}\) cos \(\frac{\pi}{8}\); в) sin 14° cos 16°;

Решение:

Для преобразования произведения тригонометрических функций в сумму воспользуемся следующими формулами:

\( \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [ \cos (\alpha - \beta) + \cos (\alpha + \beta) ] \)

\( \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2} [ \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) ] \)

б) \( \cos \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{8} \)

1. Применим формулу произведения косинусов, где \( \alpha = \frac{\pi}{12} \) и \( \beta = \frac{\pi}{8} \).
2. \( \cos \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \left[ \cos \left( \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{8} \right) + \cos \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{8} \right) \right] \)
3. Приведём дроби к общему знаменателю: \( \frac{\pi}{12} = \frac{2\pi}{24} \) и \( \frac{\pi}{8} = \frac{3\pi}{24} \).
4. \( \frac{\pi}{12} - \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi - 3\pi}{24} = -\frac{\pi}{24} \)
5. \( \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{8} = \frac{2\pi + 3\pi}{24} = \frac{5\pi}{24} \)
6. Подставим полученные значения обратно в формулу:
7. \( \cos \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \left[ \cos \left( -\frac{\pi}{24} \right) + \cos \left( \frac{5\pi}{24} \right) \right] \)
8. Так как \( \cos (-x) = \cos x \), то \( \cos \left( -\frac{\pi}{24} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{24} \right) \).
9. \( \cos \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{8} = \frac{1}{2} \left[ \cos \frac{\pi}{24} + \cos \frac{5\pi}{24} \right] \)

в) \( \sin 14^{\circ} \cos 16^{\circ} \)

1. Применим формулу произведения синуса на косинус, где \( \alpha = 14^{\circ} \) и \( \beta = 16^{\circ} \).
2. \( \sin 14^{\circ} \cos 16^{\circ} = \frac{1}{2} [ \sin (14^{\circ} + 16^{\circ}) + \sin (14^{\circ} - 16^{\circ}) ] \)
3. \( 14^{\circ} + 16^{\circ} = 30^{\circ} \)
4. \( 14^{\circ} - 16^{\circ} = -2^{\circ} \)
5. \( \sin 14^{\circ} \cos 16^{\circ} = \frac{1}{2} [ \sin 30^{\circ} + \sin (-2^{\circ}) ] \)
6. Так как \( \sin (-x) = -\sin x \), то \( \sin (-2^{\circ}) = -\sin 2^{\circ} \).
7. \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \).
8. \( \sin 14^{\circ} \cos 16^{\circ} = \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} - \sin 2^{\circ} \right] \)
9. \( \sin 14^{\circ} \cos 16^{\circ} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \sin 2^{\circ} \)

Ответ: б) \( \frac{1}{2} \left( \cos \frac{\pi}{24} + \cos \frac{5\pi}{24} \right) \); в) \( \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \sin 2^{\circ} \).