Задание 4. Прямоугольный параллелепипед. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 9 см, 12 см и 20 см. Найдите: а) диагональ основания; б) диагональ прямоугольного параллелепипеда. Выполните чертёж и запишите решение.

Обозначим измерения параллелепипеда через 9 см, 12 см и 20 см. Поскольку не указано, какие именно два измерения образуют основание, рассмотрим все возможные варианты диагонали основания.

1. Если основание имеет стороны 9 см и 12 см, то по теореме Пифагора его диагональ равна \(d=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15\) см.

2. Если стороны основания — 9 см и 20 см, то \(d=\sqrt{9^2+20^2}=\sqrt{481}\) см.

3. Если стороны основания — 12 см и 20 см, то \(d=\sqrt{12^2+20^2}=\sqrt{544}=4\sqrt{34}\) см.

4. Пространственная диагональ при любом выборе основания находится по теореме Пифагора в трёх измерениях: \(D=\sqrt{9^2+12^2+20^2}=\sqrt{625}=25\) см.

На чертеже основание выбрано со сторонами 9 см и 12 см, а высота равна 20 см.

Ответ: а) диагональ основания зависит от выбора основания: 15 см, \(\sqrt{481}\) см или \(4\sqrt{34}\) см; б) диагональ параллелепипеда равна 25 см. Если подразумевается основание со сторонами 9 см и 12 см, ответ в пункте а) — 15 см.