Задание 4. Реши задачу. Дан △ABC, в котором сторона AB равна 10, сторона AC равна 16, а медиана AM равна 5. Найди площадь △ABC.

Так как AM — медиана, M — середина BC. Обозначим векторы \(\overrightarrow{AB}=\mathbf{u}\) и \(\overrightarrow{AC}=\mathbf{v}\). Тогда \(\overrightarrow{AM}=(\mathbf{u}+\mathbf{v})/2\).

1. Используем длину медианы: \(4AM^2=|\mathbf{u}+\mathbf{v}|^2=|\mathbf{u}|^2+|\mathbf{v}|^2+2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\). Поэтому \(4\cdot 5^2=10^2+16^2+2\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\), откуда \(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=-78\).
2. Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения: \(S^2=\frac14\bigl(|\mathbf{u}|^2|\mathbf{v}|^2-(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})^2\bigr)\). Подставим данные: \(S^2=\frac14(10^2\cdot16^2-78^2)=\frac14(25600-6084)=4879\).

Ответ: \(S_{ABC}=\sqrt{4879}\) кв. ед. (примерно 69,85 кв. ед.).