Задание 4. Решите систему линейных уравнений методом Крамера x + y = 8 2x-3y = 11

Решение системы методом Крамера

Система линейных уравнений:

• \( x + y = 8 \)
• \( 2x - 3y = 11 \)

Запишем матрицу коэффициентов системы:

\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} \]

Найдём определитель матрицы \( A \):

\[ \Delta = \det(A) = (1)(-3) - (1)(2) = -3 - 2 = -5 \]

Так как \( \Delta \neq 0 \), система имеет единственное решение.

Теперь найдём определители для \( x \) и \( y \):

Для \( x \): заменим первый столбец матрицы \( A \) столбцом свободных членов \(\begin{pmatrix} 8 \\ 11 \end{pmatrix}\):

\[ \Delta_x = \begin{vmatrix} 8 & 1 \\ 11 & -3 \end{vmatrix} = (8)(-3) - (1)(11) = -24 - 11 = -35 \]

Для \( y \): заменим второй столбец матрицы \( A \) столбцом свободных членов \(\begin{pmatrix} 8 \\ 11 \end{pmatrix}\):

\[ \Delta_y = \begin{vmatrix} 1 & 8 \\ 2 & 11 \end{vmatrix} = (1)(11) - (8)(2) = 11 - 16 = -5 \]

Найдём значения \( x \) и \( y \) по формулам Крамера:

\[ x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-35}{-5} = 7 \]

\[ y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-5}{-5} = 1 \]

Проверим решение, подставив найденные значения в исходные уравнения:

• \( 7 + 1 = 8 \) (Верно)
• \( 2(7) - 3(1) = 14 - 3 = 11 \) (Верно)

Ответ: \( x = 7, y = 1 \).