Задание 4. Решите уравнение: 1) (x-1)(x²+8x+16)=6(x+4);

Решение:

1. Заметим, что выражение \( x^2 + 8x + 16 \) является полным квадратом: \( (x+4)^2 \).
2. Подставим это в исходное уравнение: \( (x-1)(x+4)^2 = 6(x+4) \).
3. Перенесём всё в левую часть: \( (x-1)(x+4)^2 - 6(x+4) = 0 \).
4. Вынесем общий множитель \( (x+4) \) за скобки: \( (x+4) [ (x-1)(x+4) - 6 ] = 0 \).
5. Раскроем скобки во второй части: \( (x+4) [ x^2 + 4x - x - 4 - 6 ] = 0 \).
6. Упростим выражение во вторых скобках: \( (x+4) [ x^2 + 3x - 10 ] = 0 \).
7. Теперь разложим квадратный трёхчлен \( x^2 + 3x - 10 \) на множители. Найдем корни уравнения \( x^2 + 3x - 10 = 0 \) с помощью дискриминанта: \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \). \( x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2} \). Корни: \( x_1 = \frac{-3+7}{2} = 2 \) и \( x_2 = \frac{-3-7}{2} = -5 \).
8. Таким образом, \( x^2 + 3x - 10 = (x-2)(x+5) \).
9. Исходное уравнение примет вид: \( (x+4)(x-2)(x+5) = 0 \).
10. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю: \( x+4=0 \) или \( x-2=0 \) или \( x+5=0 \).
11. Решая эти простейшие уравнения, получаем: \( x = -4 \), \( x = 2 \), \( x = -5 \).

Ответ: x = -5, x = -4, x = 2.