Задание 4. Решите уравнение: 1) (x-1)(x²+8x+16)=6(x+4); 2) (x-1)(x²+4x+4)=4(x+2); 3) (x-2)(x²+6x+9)=6(x+3); 4) (x-2)(x²+2x+1)=4(x+1); 9) (x²-4)²+(x²-3x-10)²=0; 10) (x²-9)²+(x²-2x-15)²=0; 11) (x-1)²+(x²-6x-7)²=0; 12) (x²-4)²+(x²-6x-16)²=0;

Решение:

Решим каждое уравнение по порядку.

1. \( (x-1)(x^2+8x+16)=6(x+4) \)

Заметим, что \( x^2+8x+16 = (x+4)^2 \). Уравнение примет вид:

\( (x-1)(x+4)^2 = 6(x+4) \)

Перенесём всё в одну часть:

\( (x-1)(x+4)^2 - 6(x+4) = 0 \)

Вынесем общий множитель \( (x+4) \):

\( (x+4) [ (x-1)(x+4) - 6 ] = 0 \)

Раскроем скобки во второй части:

\( (x+4) [ x^2 + 4x - x - 4 - 6 ] = 0 \)

\( (x+4) [ x^2 + 3x - 10 ] = 0 \)

Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + 3x - 10 = 0 \):

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \). \( \sqrt{D} = 7 \).

Корни: \( x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{-3 - 7}{2} = -5 \).

Таким образом, получаем три решения: \( x = -4, x = 2, x = -5 \).

2. \( (x-1)(x^2+4x+4)=4(x+2) \)

Заметим, что \( x^2+4x+4 = (x+2)^2 \). Уравнение примет вид:

\( (x-1)(x+2)^2 = 4(x+2) \)

Перенесём всё в одну часть:

\( (x-1)(x+2)^2 - 4(x+2) = 0 \)

Вынесем общий множитель \( (x+2) \):

\( (x+2) [ (x-1)(x+2) - 4 ] = 0 \)

Раскроем скобки во второй части:

\( (x+2) [ x^2 + 2x - x - 2 - 4 ] = 0 \)

\( (x+2) [ x^2 + x - 6 ] = 0 \)

Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + x - 6 = 0 \):

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \). \( \sqrt{D} = 5 \).

Корни: \( x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = 2 \), \( x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = -3 \).

Таким образом, получаем три решения: \( x = -2, x = 2, x = -3 \).

3. \( (x-2)(x^2+6x+9)=6(x+3) \)

Заметим, что \( x^2+6x+9 = (x+3)^2 \). Уравнение примет вид:

\( (x-2)(x+3)^2 = 6(x+3) \)

Перенесём всё в одну часть:

\( (x-2)(x+3)^2 - 6(x+3) = 0 \)

Вынесем общий множитель \( (x+3) \):

\( (x+3) [ (x-2)(x+3) - 6 ] = 0 \)

Раскроем скобки во второй части:

\( (x+3) [ x^2 + 3x - 2x - 6 - 6 ] = 0 \)

\( (x+3) [ x^2 + x - 12 ] = 0 \)

Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 + x - 12 = 0 \):

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(-12) = 1 + 48 = 49 \). \( \sqrt{D} = 7 \).

Корни: \( x_1 = \frac{-1 + 7}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{-1 - 7}{2} = -4 \).

Таким образом, получаем три решения: \( x = -3, x = 3, x = -4 \).

4. \( (x-2)(x^2+2x+1)=4(x+1) \)

Заметим, что \( x^2+2x+1 = (x+1)^2 \). Уравнение примет вид:

\( (x-2)(x+1)^2 = 4(x+1) \)

Перенесём всё в одну часть:

\( (x-2)(x+1)^2 - 4(x+1) = 0 \)

Вынесем общий множитель \( (x+1) \):

\( (x+1) [ (x-2)(x+1) - 4 ] = 0 \)

Раскроем скобки во второй части:

\( (x+1) [ x^2 + x - 2x - 2 - 4 ] = 0 \)

\( (x+1) [ x^2 - x - 6 ] = 0 \)

Теперь решим квадратное уравнение \( x^2 - x - 6 = 0 \):

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \). \( \sqrt{D} = 5 \).

Корни: \( x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3 \), \( x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2 \).

Таким образом, получаем три решения: \( x = -1, x = 3, x = -2 \).

5. \( (x^2-4)^2+(x^2-3x-10)^2=0 \)

Сумма квадратов двух выражений равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из выражений равно нулю.

\( x^2-4 = 0 \) и \( x^2-3x-10 = 0 \)

Из первого уравнения: \( x^2 = 4 \), следовательно, \( x = 2 \) или \( x = -2 \).

Решим второе уравнение \( x^2-3x-10 = 0 \):

Дискриминант \( D = (-3)^2 - 4(1)(-10) = 9 + 40 = 49 \). \( \sqrt{D} = 7 \).

Корни: \( x_1 = \frac{3 + 7}{2} = 5 \), \( x_2 = \frac{3 - 7}{2} = -2 \).

Общий корень для обоих уравнений: \( x = -2 \).

6. \( (x^2-9)^2+(x^2-2x-15)^2=0 \)

\( x^2-9 = 0 \) и \( x^2-2x-15 = 0 \)

Из первого уравнения: \( x^2 = 9 \), следовательно, \( x = 3 \) или \( x = -3 \).

Решим второе уравнение \( x^2-2x-15 = 0 \):

Дискриминант \( D = (-2)^2 - 4(1)(-15) = 4 + 60 = 64 \). \( \sqrt{D} = 8 \).

Корни: \( x_1 = \frac{2 + 8}{2} = 5 \), \( x_2 = \frac{2 - 8}{2} = -3 \).

Общий корень для обоих уравнений: \( x = -3 \).

7. \( (x-1)^2+(x^2-6x-7)^2=0 \)

\( x-1 = 0 \) и \( x^2-6x-7 = 0 \)

Из первого уравнения: \( x = 1 \).

Проверим, является ли \( x=1 \) корнем второго уравнения:

\( 1^2 - 6(1) - 7 = 1 - 6 - 7 = -12 \). \( -12 \neq 0 \).

Таким образом, нет общих корней, решений у уравнения нет.

8. \( (x^2-4)^2+(x^2-6x-16)^2=0 \)

\( x^2-4 = 0 \) и \( x^2-6x-16 = 0 \)

Из первого уравнения: \( x^2 = 4 \), следовательно, \( x = 2 \) или \( x = -2 \).

Решим второе уравнение \( x^2-6x-16 = 0 \):

Дискриминант \( D = (-6)^2 - 4(1)(-16) = 36 + 64 = 100 \). \( \sqrt{D} = 10 \).

Корни: \( x_1 = \frac{6 + 10}{2} = 8 \), \( x_2 = \frac{6 - 10}{2} = -2 \).

Общий корень для обоих уравнений: \( x = -2 \).

Ответ: 1) x = -5, -4, 2; 2) x = -3, -2, 2; 3) x = -4, -3, 3; 4) x = -2, -1, 3; 9) x = -2; 10) x = -3; 11) нет решений; 12) x = -2.