Задание 4 Решите уравнение. a) 4^x = 64; б) (1/3)^x * (1/8)^x = 27/64; в) 2^(2x-4)=64; г) 5^(x^2-3x)=5^(3x-8) д) log_5 x = 2

Решение:

а) Решим уравнение 4^x = 64.

1. Представим число 64 как степень числа 4: \( 64 = 4^3 \).
2. Получаем уравнение: \( 4^x = 4^3 \).
3. Приравниваем показатели степеней: \( x = 3 \).

б) Решим уравнение (1/3)^x * (1/8)^x = 27/64.

1. Воспользуемся свойством степеней \( a^n \cdot b^n = (ab)^n \): \( \left(\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8}\right)^x = \frac{27}{64} \)
2. Упростим выражение в скобках: \( \left(\frac{1}{24}\right)^x = \frac{27}{64} \)
3. Представим обе части уравнения в виде степеней с одинаковым основанием. Заметим, что \( \frac{27}{64} = \left(\frac{3}{4}\right)^3 \) и \( \frac{1}{24} = \left(\frac{1}{24}\right)^1 \). Это уравнение не имеет простого решения в целых числах. Вероятно, в условии опечатка. Если предположить, что правая часть равна \( \frac{1}{24} \), то \( x = 1 \). Если предположить, что основание \( \frac{3}{4} \), то \( \left(\frac{3}{4}\right)^x = \left(\frac{3}{4}\right)^3 \), откуда \( x = 3 \). Исходя из вида числа 27/64, можно предположить, что имелось в виду \( (3/4)^x = 27/64 \). Тогда \( x=3 \).

в) Решим уравнение 2^(2x-4) = 64.

1. Представим число 64 как степень числа 2: \( 64 = 2^6 \).
2. Получаем уравнение: \( 2^{2x-4} = 2^6 \).
3. Приравниваем показатели степеней: \( 2x - 4 = 6 \).
4. Решаем линейное уравнение: \( 2x = 6 + 4 \), \( 2x = 10 \), \( x = 5 \).

г) Решим уравнение 5^(x²-3x) = 5^(3x-8).

1. Приравниваем показатели степеней: \( x^2 - 3x = 3x - 8 \).
2. Переносим все члены в одну сторону: \( x^2 - 3x - 3x + 8 = 0 \), \( x^2 - 6x + 8 = 0 \).
3. Решаем квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \).
4. Находим корни: \( x_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4 \) и \( x_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2 \).

д) Решим уравнение log₅ x = 2.

1. По определению логарифма: если \( \log_a b = c \), то \( a^c = b \).
2. Применяем определение к нашему уравнению: \( 5^2 = x \).
3. Вычисляем: \( x = 25 \).

Ответ: а) 3; б) 3 (при допущении); в) 5; г) 2; 4; д) 25.