Задание 4. Решите уравнения: а) $7{,}3^{x^2}\cdot\left(\frac{10}{73}\right)^{-1-2x^2}=7{,}3^{-4x}$; б) $\sqrt[3]{x^3+3x^2-2x-5}=x$; в) $2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)-\sqrt3=0$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Задание 4. Решите уравнения: а) $7{,}3^{x^2}\cdot\left(\frac{10}{73}\right)^{-1-2x^2}=7{,}3^{-4x}$; б)…$ Фото задания

Задание 4. Решите уравнения: а) $7{,}3^{x^2}\cdot\left(\frac{10}{73}\right)^{-1-2x^2}=7{,}3^{-4x}$; б) $\sqrt[3]{x^3+3x^2-2x-5}=x$; в) $2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)-\sqrt3=0$.

Accepted Answer

а) Так как $\frac{10}{73}=\frac{1}{7{,}3}=7{,}3^{-1}$, левая часть равна $7{,}3^{x^2}\cdot7{,}3^{1+2x^2}=7{,}3^{1+3x^2}$. Приравниваем показатели одинаковых оснований:

$1+3x^2=-4x$, откуда $3x^2+4x+1=0$.

$(3x+1)(x+1)=0$, поэтому $x=-\frac13$ или $x=-1$.

б) Возводим обе части в куб; это равносильное преобразование для действительных чисел:

$x^3+3x^2-2x-5=x^3$, значит $3x^2-2x-5=0$.

$D=(-2)^2-4\cdot3\cdot(-5)=64$. Тогда $x=\frac{2\pm8}{6}$, то есть $x=-1$ или $x=\frac53$. Оба значения удовлетворяют исходному уравнению.

в) Переносим $\sqrt3$ и делим на 2: $\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)=\frac{\sqrt3}{2}$.

Пусть $t=\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}$. Тогда $t=\frac{\pi}{3}+2\pi k$ или $t=\frac{2\pi}{3}+2\pi k$, где $k\in\mathbb Z$.

Из первого случая получаем $x=-4\pi k$, из второго — $x=-\frac{2\pi}{3}-4\pi k$. Переобозначая целый параметр, записываем ответ:

Ответ: а) $x=-1, -\frac13$; б) $x=-1, \frac53$; в) $x=4\pi k$ или $x=-\frac{2\pi}{3}+4\pi k$, $k\in\mathbb Z$.

Задание 4. Решите уравнения: а) \(7{,}3^{x^2}\cdot\left(\frac{10}{73}\right)^{-1-2x^2}=7{,}3^{-4x}\); б) \(\sqrt[3]{x^3+3x^2-2x-5}=x\); в) \(2\sin\left(\frac{\pi}{3}-\frac{x}{2}\right)-\sqrt3=0\).

Ответ: