Ответ:

Перевод задания: Преобразуйте глагол в скобках, используя герундий или инфинитив. Его мама пообещала ... (купить) ему велосипед, если он успешно сдаст экзамены.

После глагола promise употребляется инфинитив с частицей to: promise to do something.

His mum promised to buy him a bike if he passed his exams successfully.

Его мама пообещала купить ему велосипед, если он успешно сдаст экзамены.