Задание 4. Упростите: а) \(\frac{x^{1/3}y+xy^{1/3}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}\); б) \(\frac{q^{1/3}-q^{7/3}}{q^{1/3}-q^{4/3}}-\frac{q^{1/3}-q^{5/3}}{q^{2/3}+q^{-1/3}}\).

а)

Вынесем общие множители в числителе:

\[\frac{x^{1/3}y+xy^{1/3}}{x^{1/3}+y^{1/3}}=\frac{x^{1/3}y^{1}+x^{1}y^{1/3}}{x^{1/3}+y^{1/3}}.\]

Общего множителя, позволяющего сократить дробь, нет. Поэтому выражение уже является упрощённым.

Ответ: \(\frac{x^{1/3}y+xy^{1/3}}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}\).

б) Обозначим \(t=q^{1/3}\). Тогда \(q=t^3\), \(q^{4/3}=t^4\), \(q^{5/3}=t^5\), \(q^{7/3}=t^7\).

\[\frac{q^{1/3}-q^{7/3}}{q^{1/3}-q^{4/3}}=\frac{t-t^7}{t-t^4}=\frac{t(1-t^6)}{t(1-t^3)}=\frac{(1-t^3)(1+t^3)}{1-t^3}=1+t^3=1+q.\]

Вторая дробь:

\[\frac{q^{1/3}-q^{5/3}}{q^{2/3}+q^{-1/3}}=\frac{t-t^5}{t^2+t^{-1}}=\frac{t(1-t^4)}{t^{-1}(t^3+1)}=\frac{t^2(1-t^4)}{t^3+1}.\]

Следовательно,

\[1+q-\frac{q^{2/3}(1-q^{4/3})}{q+1}.\]

Ответ: \(1+q-\frac{q^{2/3}(1-q^{4/3})}{q+1}\).