Задание 4. Упростите выражение для всех допустимых значений \(\alpha\): \(\dfrac{\sin^5(360^\circ+\alpha)\cos(270^\circ-\alpha)}{\operatorname{ctg}^5(90^\circ-\alpha)\cos^5(180^\circ+\alpha)}\).

Применим формулы приведения:

1. \(\sin(360^\circ+\alpha)=\sin\alpha\).
2. \(\cos(270^\circ-\alpha)=-\sin\alpha\).
3. \(\operatorname{ctg}(90^\circ-\alpha)=\operatorname{tg}\alpha\), а \(\cos(180^\circ+\alpha)=-\cos\alpha\).

Тогда числитель равен \(-\sin^6\alpha\), а знаменатель — \(\operatorname{tg}^5\alpha\cdot(-\cos^5\alpha)=-\sin^5\alpha\). Следовательно,

\[\frac{-\sin^6\alpha}{-\sin^5\alpha}=\sin\alpha.\]

В исходном выражении должны быть определены котангенс и тангенс, а знаменатель не должен равняться нулю. Поэтому \(\sin\alpha\ne0\) и \(\cos\alpha\ne0\), то есть \(\alpha\ne90^\circ k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Ответ: \(\sin\alpha\), \(\alpha\ne90^\circ k\), \(k\in\mathbb Z\).