Задание 4. Упростите выражение для всех допустимых значений \(\alpha\): \(\frac{\operatorname{tg}^{3}(90^\circ-\alpha)\sin(180^\circ+\alpha)}{\sin(270^\circ-\alpha)\operatorname{ctg}^{3}(\alpha+180^\circ)}\).

Используем формулы приведения и периодичность:

\(\operatorname{tg}(90^\circ-\alpha)=\operatorname{ctg}\alpha\), \(\sin(180^\circ+\alpha)=-\sin\alpha\), \(\sin(270^\circ-\alpha)=-\cos\alpha\), \(\operatorname{ctg}(\alpha+180^\circ)=\operatorname{ctg}\alpha\).

Подставим:

\[\frac{\operatorname{ctg}^{3}\alpha\cdot(-\sin\alpha)}{(-\cos\alpha)\operatorname{ctg}^{3}\alpha}=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\operatorname{tg}\alpha.\]

Для исходного выражения необходимо, чтобы были определены все функции и знаменатель не равнялся нулю. Отсюда \(\sin\alpha\ne0\) и \(\cos\alpha\ne0\), то есть \(\alpha\ne90^\circ k\), где \(k\in\mathbb Z\).

Ответ: \(\operatorname{tg}\alpha\), \(\alpha\ne90^\circ k\), \(k\in\mathbb Z\).