Задание №4. В параллелограмме ABCD AC = 20, BD = 18. На продолжении диагонали BD за точку B отмечена точка N, а на продолжении этой диагонали за точку D отмечена точка L так, что BN = DL = 1. Найдите угол ANC четырёхугольника ANCL.

Диагонали параллелограмма делятся точкой пересечения пополам. Обозначим эту точку за O и выберем координаты на диагонали BD: O = (0, 0), B = (−9, 0), D = (9, 0). Так как BN = 1 и DL = 1, получаем N = (−10, 0).

Пусть A = (u, v). Тогда C = (−u, −v), поскольку O — середина AC. Из AC = 20 следует u² + v² = 100.

Векторы NA = (u + 10, v) и NC = (10 − u, −v). Их скалярное произведение:

NA · NC = (u + 10)(10 − u) − v² = 100 − u² − v² = 0.

Значит, NA перпендикулярен NC, поэтому угол ANC прямой.

Ответ: 90°.