Задание № 4. В параллелограмме сторона равна 8, а диагонали равны 20 и 24. Найдите косинус острого угла между диагоналями.

Пусть диагонали параллелограмма — векторы длиной 20 и 24. Стороны параллелограмма образуются как полусумма и полуразность этих векторов. Поэтому квадрат стороны равен \(\frac{20^2+24^2\pm2\cdot20\cdot24\cos\alpha}{4}\).

Так как одна из сторон равна 8, получаем:

\[64=\frac{400+576\pm960\cos\alpha}{4}=244\pm240\cos\alpha.\]

Отсюда \(240\cos\alpha=180\) для острого угла, поэтому \(\cos\alpha=\frac{3}{4}\).

Ответ: \(\frac{3}{4}\).