Задание № 4. В прямоугольном треугольнике \(KLM\) с прямым углом при вершине \(L\) величина внешнего угла при вершине \(M\) составляет \(150^\circ\). Проведена биссектриса \(KN\) длиной 24. Найдите длину катета \(LM\).

Внешний угол при вершине \(M\) смежный с внутренним, поэтому \(\angle M=180^\circ-150^\circ=30^\circ\). Тогда \(\angle K=60^\circ\).

Обозначим \(LM=x\). В прямоугольном треугольнике с углами \(30^\circ,60^\circ,90^\circ\) катет напротив угла \(30^\circ\) равен половине гипотенузы, поэтому \(KM=2x\), а \(KL=\sqrt{3}x\).

Длина биссектрисы из вершины \(K\) выражается формулой \(KN^2=KL\cdot KM\left(1-\frac{LM^2}{(KL+KM)^2}\right)\). Подставим найденные длины:

\[24^2=(\sqrt{3}x)(2x)\left(1-\frac{x^2}{(\sqrt{3}x+2x)^2}\right)=2x^2\left(1-\frac{1}{(\sqrt{3}+2)^2}\right)=\frac{4x^2}{\sqrt{3}+2}.\]

Следовательно, \(x^2=144(\sqrt{3}+2)\), откуда \(x=12\sqrt{2+\sqrt{3}}=6(\sqrt{6}+\sqrt{2})\).

Ответ: \(LM=6(\sqrt{6}+\sqrt{2})\).