Задание 4. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектрисы AL и BH, которые пересеклись в точке I. Найдите, чему равно основание треугольника, если AB = 34 и BI : IH = 17 : 8.

В равнобедренном треугольнике биссектриса BH, проведённая к основанию AC, является также высотой. Обозначим BH = h, а IH = 8k. Тогда из отношения BI : IH = 17 : 8 получаем BI = 17k и h = BI + IH = 25k, поэтому IH = \(\frac{8}{25}h\).

Так как I — центр вписанной окружности, IH — радиус этой окружности. Пусть половина основания равна x. Тогда площадь треугольника равна xh, а его полупериметр — 34 + x. Поэтому радиус вписанной окружности равен \(\frac{xh}{34+x}\).

Приравняем два выражения для IH и сократим на h:

\(\frac{x}{34+x}=\frac{8}{25}\).

\(25x=8(34+x)\), значит \(25x=272+8x\), откуда \(17x=272\) и \(x=16\).

Основание вдвое больше половины основания: \(AC=2\cdot16=32\).

Ответ: 32.