Задание № 4. В равнобедренном треугольнике один из углов равен \(120^\circ\). Высота, проведенная к основанию, равна \(\sqrt{3}\). Найди одну из оставшихся высот.

Угол \(120^\circ\) не может быть углом при основании: тогда оба угла при основании были бы равны \(120^\circ\), что невозможно. Значит, это вершина равнобедренного треугольника.

Пусть высота к основанию равна \(\sqrt{3}\). В равнобедренном треугольнике она делит угол при вершине пополам и основание пополам, образуя прямоугольный треугольник с углом \(60^\circ\).

Половина основания равна \(\sqrt{3}\tan 60^\circ=\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3\), поэтому основание равно \(6\). Боковая сторона равна \(\sqrt{(\sqrt{3})^2+3^2}=2\sqrt{3}\).

Площадь треугольника: \(S=\frac12\cdot6\cdot\sqrt{3}=3\sqrt{3}\). Высота к боковой стороне равна \(h=\frac{2S}{2\sqrt{3}}=3\).

Ответ: 3.