Задание № 4. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 120°. Высота, проведенная к основанию, равна √3. Найдите длину одной из ставших высот. h = ?

Формулировка указывает, что один угол равен 120°, но равнобедренный треугольник не может иметь угол при основании 120°: два таких угла уже дали бы сумму 240°. Значит, 120° — вершиний угол, а углы при основании равны по 30°.

Пусть высота к основанию равна √3 и делит основание пополам. В одном из получившихся прямоугольных треугольников второй острый угол равен 30°. Обозначим боковую сторону через c. Тогда sin 30° = √3/c, откуда c = 2√3.

Площадь исходного треугольника можно выразить через основание b и данную высоту: S = (1/2)b√3. Также S = (1/2)ch, где h — высота, проведённая к боковой стороне. Из прямоугольного треугольника b = 2√3·tan 30° = 2.

Следовательно, S = √3, а h = 2S/c = 2√3/(2√3) = 1.

Ответ: h = 1.