ЗАДАНИЕ №4. В равнобедренной трапеции ABCD на основании AD выбрали точку K так, что прямая CK параллельна AB, угол KCD равен 42°. Чему равен угол A? Ответ дайте в градусах.

Дано: трапеция ABCD равнобедренная, CK || AB, ∠KCD = 42°. Найти: ∠A.

1. Поскольку CK || AB и BC || AD (основания трапеции), то ABKC является параллелограммом.
2. Следовательно, ∠CKB = ∠ABC (как соответственные углы при параллельных прямых CK и AB и секущей BC).
3. Также, ∠KCB = ∠ABK (как соответственные углы при параллельных прямых CK и AB и секущей BC)
4. В параллелограмме ABKC, противоположные стороны равны, значит AB = CK.
5. Треугольник CKD равнобедренный, так как CK = CD (в равнобедренной трапеции боковые стороны равны) и следовательно ∠CKD=∠CDK
6. Поскольку ABCD - равнобедренная трапеция, ∠A=∠D.
7. Рассмотрим углы треугольника CKD, ∠CKD+∠CDK+∠KCD=180.
8. Так как ∠CKD=∠CDK, то 2∠CKD+42=180, отсюда 2∠CKD=138, значит ∠CKD=69.
9. Поскольку ∠CKD и ∠CKB - смежные, ∠CKB=180-69=111
10. Таким образом ∠ABC = ∠CKB = 111
11. В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, то есть ∠A = ∠D, ∠B=∠C
12. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. ∠A +∠B+∠C+∠D=360
13. ∠A + 111 + ∠C + ∠A=360
14. ∠A=∠D and ∠B=∠C, ∠A+111+111+∠A=360, 2∠A=360-222=138
15. ∠A = 138/2 = 69. Ответ: Угол A равен 69 градусов.