ЗАДАНИЕ №4. В равностороннем треугольнике со стороной 5 провели отрезок, соединяющий вершину треугольника с точкой, делящей противоположную сторону в отношении 2 : 1. Найдите длину этого отрезка. a = …

Высота равностороннего треугольника со стороной 5 равна \(h=\frac{5\sqrt{3}}{2}\).

Противоположная сторона делится в отношении \(2:1\), поэтому её части равны \(\frac{10}{3}\) и \(\frac{5}{3}\). Расстояние от основания высоты до точки деления равно \(\frac{5}{6}\).

По теореме Пифагора:

\[a^2=\left(\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(\frac{5}{6}\right)^2=\frac{75}{4}+\frac{25}{36}=\frac{700}{36}=\frac{175}{9}.\]

Следовательно, \(a=\frac{5\sqrt{7}}{3}\).

Ответ: \(a=\frac{5\sqrt{7}}{3}\).