Задание 4. В ромбе ABCD провели высоту BK к стороне AD. Оказалось, что AK : KD = 1 : 3. Диагональ AC пересекает высоту BK в точке M. Найдите длину отрезка DM, если BK = 10.

Пусть сторона ромба равна a. Так как AK : KD = 1 : 3, то AK = a/4, а KD = 3a/4.

Расположим AD горизонтально: A=(0,0), D=(a,0). Тогда K=(a/4,0), а поскольку BK — высота длиной 10, B=(a/4,10).

В ромбе противоположные стороны параллельны и равны, поэтому C=B+D-A=(5a/4,10). Диагональ AC соединяет (0,0) и (5a/4,10). На высоте BK имеем x=a/4; это четверть горизонтального перемещения от A к C, значит точка пересечения M имеет координаты (a/4,2.5).

Следовательно, M и K лежат на одной высоте, а KM=2.5. По вертикали от D до M разность координат равна 2.5, по горизонтали — DK=3a/4. Поскольку AB=AD=a и AB²=AK²+BK², получаем a²=(a/4)²+100, откуда a=40/\(\sqrt{15}\). Тогда DK=30/\(\sqrt{15}\)=2\(\sqrt{15}\).

По теореме Пифагора: DM=\(\sqrt\){\(2\sqrt{15}\)²+2.5²}=\(\sqrt{60+6.25}\)=\(\sqrt{265}\)/2.

Ответ: \(DM=\frac{\sqrt{265}}{2}\).