Задание №4. В треугольник ABC вписали ромб MBKE так, что точки M, K и E лежат на сторонах AB, BC и AC соответственно. Найдите стороны AB и BC треугольника, если AE : EC = 2 : 3, а сторона ромба равна 6.

В ромбе противоположные стороны параллельны и равны, поэтому KE ∥ AB и KE = MB = 6. Также BK = 6.

Так как AE : EC = 2 : 3, то EC : AC = 3 : 5. Из подобия треугольников CKE и CBA следует:

\(\frac{KE}{AB}=\frac{CE}{CA}=\frac{3}{5}\), поэтому \(\frac{6}{AB}=\frac{3}{5}\) и \(AB=10\).

Из того же подобия \(\frac{CK}{CB}=\frac{3}{5}\), значит \(BK=CB-CK=\frac{2}{5}CB\). Поскольку \(BK=6\), получаем \(\frac{2}{5}CB=6\), откуда \(BC=15\).

Ответ: \(AB=10\), \(BC=15\).