Задание № 4. В треугольнике ABC: AC = b, ∠A = α и ∠C = γ. Выразите биссектрисы l_A и l_C через α, γ и b.

Обозначим \(\angle B=180^\circ-\alpha-\gamma\). По теореме синусов стороны, прилежащие к соответствующим углам, равны:

\(AB=b\dfrac{\sin\gamma}{\sin(\alpha+\gamma)}\), поскольку \(\sin B=\sin(\alpha+\gamma)\);

\(BC=b\dfrac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\gamma)}\).

Длина биссектрисы угла между сторонами \(x\) и \(y\) равна \(\dfrac{2xy\cos(\theta/2)}{x+y}\), где \(\theta\) — этот угол.

Для биссектрисы из A используем стороны \(AB\), \(AC=b\) и угол \(\alpha\):

\(l_A=\dfrac{2\cdot b\dfrac{\sin\gamma}{\sin(\alpha+\gamma)}\cdot b\cos(\alpha/2)}{b\dfrac{\sin\gamma}{\sin(\alpha+\gamma)}+b}=\dfrac{2b\sin\gamma\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha+\gamma)+\sin\gamma}\).

Для биссектрисы из C используем стороны \(AC=b\), \(BC\) и угол \(\gamma\):

\(l_C=\dfrac{2b\cdot b\dfrac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\gamma)}\cos(\gamma/2)}{b+b\dfrac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\gamma)}}=\dfrac{2b\sin\alpha\cos(\gamma/2)}{\sin(\alpha+\gamma)+\sin\alpha}\).

Ответ: \(l_A=\dfrac{2b\sin\gamma\cos(\alpha/2)}{\sin(\alpha+\gamma)+\sin\gamma}\), \(l_C=\dfrac{2b\sin\alpha\cos(\gamma/2)}{\sin(\alpha+\gamma)+\sin\alpha}\).