Задание №4. В треугольнике ABC на стороне AC отмечена точка D. На рисунке отмечены три равных угла. Известны длины отрезков: BD = 12 см и AB = 17 см. Найдите периметр треугольника ABC.

Обозначенные углы равны, поэтому в треугольнике BDC все три угла равны. Следовательно, треугольник BDC равносторонний:

\(BC=CD=BD=12\) см, а \(\angle BCD=60^\circ\).

Так как точки A, D и C лежат на одной прямой, то \(\angle BCA=\angle BCD=60^\circ\).

Обозначим \(AC=x\). По теореме косинусов для треугольника ABC:

\[AB^2=AC^2+BC^2-2\cdot AC\cdot BC\cdot\cos 60^\circ.\]

Подставим известные значения:

\[17^2=x^2+12^2-2\cdot x\cdot12\cdot\frac12,\]

\[289=x^2-12x+144,\]

\[x^2-12x-145=0.\]

Решаем квадратное уравнение:

\[x=\frac{12\pm\sqrt{144+580}}{2}=6\pm\sqrt{181}.\]

Длина стороны положительна, поэтому \(AC=6+\sqrt{181}\) см.

Периметр:

\[P_{ABC}=AB+BC+AC=17+12+6+\sqrt{181}=35+\sqrt{181}\text{ см}.\]

\(\sqrt{181}\approx13.45\), поэтому \(P_{ABC}\approx48.45\) см.

Ответ: \(35+\sqrt{181}\) см (примерно \(48.45\) см).