Задание № 4. Вершину B треугольника ABC соединили отрезками с точками на противоположной стороне. На рисунке отмечены четыре равных друг другу угла. Какие из следующих утверждений верны? 1) Отрезок BN — биссектриса треугольника BMQ. 2) Отрезок BM — биссектриса треугольника ABN. 3) Отрезок BN — биссектриса треугольника ABC. 4) Отрезок BM — биссектриса треугольника ABC. 5) Отрезок BQ — биссектриса треугольника BMC.

Обозначим каждый из четырёх равных углов при вершине B как α. Тогда лучи BA, BM, BN, BQ и BC делят угол ABC на четыре последовательных угла величины α.

1. Верно. В треугольнике BMQ отрезок BN делит угол MBQ на равные углы MBN и NBQ.
2. Верно. В треугольнике ABN отрезок BM делит угол ABN на равные углы ABM и MBN.
3. Верно. В треугольнике ABC отрезок BN делит угол ABC на две равные части: ABN = 2α и NBC = 2α.
4. Неверно. Отрезок BM делит угол ABC на углы α и 3α, поэтому не является его биссектрисой.
5. Неверно. Отрезок BQ делит угол MBC на углы MBQ = 2α и QBC = α.

Ответ: верны утверждения 1, 2 и 3.