ЗАДАНИЕ №4. Вершины A треугольника ABC соединили отрезками с точками на противоположной стороне. На рисунке отмечены четыре равных друг другу угла. Какие из следующих утверждений верны? 1) Отрезок AQ — биссектриса треугольника APS. 2) Отрезок AS — биссектриса треугольника APC. 3) Отрезок AP — биссектриса треугольника ABQ. 4) Отрезок AQ — биссектриса треугольника ABC. 5) Отрезок AP — биссектриса треугольника ABC.

Обозначим каждый из четырёх равных углов через α: \(\angle BAP=\angle PAQ=\angle QAS=\angle SAC=\alpha\).

1. В треугольнике APS луч AQ делит угол PAS на равные углы \(\angle PAQ=\angle QAS\). Утверждение верно.
2. В треугольнике APC луч AS не делит угол PAC пополам: \(\angle PAS=2\alpha\), а \(\angle SAC=\alpha\). Утверждение неверно.
3. В треугольнике ABQ луч AP делит угол BAQ на равные углы \(\angle BAP=\angle PAQ\). Утверждение верно.
4. В треугольнике ABC луч AQ делит угол BAC пополам: \(\angle BAQ=2\alpha\), \(\angle QAC=2\alpha\). Утверждение верно.
5. В треугольнике ABC луч AP не является биссектрисой: \(\angle BAP=\alpha\), \(\angle PAC=3\alpha\). Утверждение неверно.

Ответ: 1, 3, 4.