Задание 4. Вычислить:

Задание 4. Вычислить:

\( \frac{\log_2 192}{\log_{12} 2} - \frac{\log_2 24}{\log_{96} 2} \)

Решение:

Воспользуемся формулой смены основания логарифма: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \).

Тогда \( \frac{1}{\log_a b} = \log_b a \).

\( \frac{\log_2 192}{\log_{12} 2} = \log_2 192 \cdot \log_2 12 \)

\( \frac{\log_2 24}{\log_{96} 2} = \log_2 24 \cdot \log_2 96 \)

Необходимо привести основания логарифмов к одному.

\( \log_2 192 = \log_2 (64 \cdot 3) = \log_2 64 + \log_2 3 = 6 + \log_2 3 \)

\( \log_2 12 = \log_2 (4 \cdot 3) = \log_2 4 + \log_2 3 = 2 + \log_2 3 \)

\( \log_2 24 = \log_2 (8 \cdot 3) = \log_2 8 + \log_2 3 = 3 + \log_2 3 \)

\( \log_2 96 = \log_2 (32 \cdot 3) = \log_2 32 + \log_2 3 = 5 + \log_2 3 \)

Теперь подставим в исходное выражение:

\( (6 + \log_2 3)(2 + \log_2 3) - (3 + \log_2 3)(5 + \log_2 3) \)

Пусть \( x = \log_2 3 \). Тогда:

\( (6+x)(2+x) - (3+x)(5+x) \)

\( = (12 + 6x + 2x + x^2) - (15 + 3x + 5x + x^2) \)

\( = (12 + 8x + x^2) - (15 + 8x + x^2) \)

\( = 12 + 8x + x^2 - 15 - 8x - x^2 = 12 - 15 = -3 \)

Ответ: -3