Задание 4. Задано выражение $$y(3y^2 – y) + \frac{24y^5}{6y^3} – (y – 4)^2 – 3y^3$$ а) Приведите выражение к многочлену стандартного вида (18 баллов). б) Докажите, что полученный многочлен делится на 2 (10 баллов). в) Найдите наименьшее значение многочлена (14 баллов).

Краткое пояснение:

Чтобы привести выражение к стандартному виду, раскроем скобки и приведем подобные слагаемые. Затем, для доказательства делимости на 2, выделим множитель 2. Для нахождения наименьшего значения, преобразуем многочлен к виду, удобному для определения его минимума.

Пошаговое решение:

а) Приведение выражения к многочлену стандартного вида

1. Шаг 1: Раскроем первую скобку:
   \( y(3y^2 – y) = 3y^3 - y^2 \)
2. Шаг 2: Упростим дробь:
   \( \frac{24y^5}{6y^3} = 4y^2 \)
3. Шаг 3: Раскроем вторую скобку:
   \( (y – 4)^2 = y^2 - 8y + 16 \)
4. Шаг 4: Подставим все части обратно в исходное выражение:
   \( 3y^3 - y^2 + 4y^2 - (y^2 - 8y + 16) - 3y^3 \)
5. Шаг 5: Раскроем скобки с учетом знака минус:
   \( 3y^3 - y^2 + 4y^2 - y^2 + 8y - 16 - 3y^3 \)
6. Шаг 6: Приведем подобные слагаемые:
   \( (3y^3 - 3y^3) + (-y^2 + 4y^2 - y^2) + 8y - 16 \)
   \( 0 + 2y^2 + 8y - 16 \)
   \( 2y^2 + 8y - 16 \)

б) Доказательство делимости на 2

1. Шаг 1: Вынесем общий множитель 2 из полученного многочлена:
   \( 2y^2 + 8y - 16 = 2(y^2 + 4y - 8) \)
2. Шаг 2: Так как многочлен можно представить в виде произведения числа 2 и другого выражения \( (y^2 + 4y - 8) \), то многочлен делится на 2.

в) Нахождение наименьшего значения многочлена

1. Шаг 1: Рассмотрим многочлен \( P(y) = 2y^2 + 8y - 16 \). Это квадратичная функция, график которой — парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент при \( y^2 \) равен 2, что больше 0). Наименьшее значение функции достигается в вершине параболы.
2. Шаг 2: Найдем координату вершины параболы по оси \( y \) по формуле \( y_в = -\frac{b}{2a} \), где \( a=2 \) и \( b=8 \).
   \( y_в = -\frac{8}{2 \cdot 2} = -\frac{8}{4} = -2 \)
3. Шаг 3: Подставим найденное значение \( y = -2 \) в выражение многочлена, чтобы найти наименьшее значение:
   \( P(-2) = 2(-2)^2 + 8(-2) - 16 \)
   \( P(-2) = 2(4) - 16 - 16 \)
   \( P(-2) = 8 - 16 - 16 \)
   \( P(-2) = -24 \)

Ответ:

а) Многочлен стандартного вида: $$2y^2 + 8y - 16$$.

б) Многочлен $$2(y^2 + 4y - 8)$$ делится на 2.

в) Наименьшее значение многочлена равно $$-24$$.