Задание 40. (ОБЗ) Найдите наименьшее значение функции y=11x-ln(x+12)^11 на отрезке [-11,5; 0].

Решение:

Найдем производную функции \( y = 11x - \ln(x+12)^{11} \). Используем свойство логарифма \( \ln(a^b) = b \ln(a) \), поэтому \( y = 11x - 11 \ln(x+12) \).

Производная: \( y' = 11 - 11 \cdot \frac{1}{x+12} = 11 \left( 1 - \frac{1}{x+12} \right) = 11 \frac{x+12-1}{x+12} = 11 \frac{x+11}{x+12} \).

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

\( 11 \frac{x+11}{x+12} = 0 \) \( \Rightarrow x+11 = 0 \) \( \Rightarrow x = -11 \).

Найдем значение функции на концах отрезка [-11,5; 0] и в критической точке, если она принадлежит отрезку.

Критическая точка \( x = -11 \) принадлежит отрезку [-11,5; 0].

Вычислим значения функции:

• При \( x = -11 \): \( y = 11(-11) - 11 \ln(-11+12) = -121 - 11 \ln(1) = -121 - 11 · 0 = -121 \).
• При \( x = -11.5 \): \( y = 11(-11.5) - 11 \ln(-11.5+12) = -126.5 - 11 \ln(0.5) = -126.5 - 11(-\ln(2)) = -126.5 + 11 \ln(2) \approx -126.5 + 11 · 0.693 · 11 · 0.693 · 11 · 0.693 \approx -126.5 + 7.623 = -118.877 \).
• При \( x = 0 \): \( y = 11(0) - 11 \ln(0+12) = 0 - 11 \ln(12) \approx -11 · 2.485 = -27.335 \).

Сравним полученные значения: -121, -118.877, -27.335.

Наименьшее значение функции равно -121.

Ответ: -121.