Задание 41. Найдите наименьшее значение функции y=e^2x-10e^x-1 на отрезке [1; 4].

Решение:

Пусть \( t = e^x \). Тогда функция принимает вид \( f(t) = t^2 - 10t - 1 \).

Так как \( x \) изменяется на отрезке [1; 4], то \( t = e^x \) изменяется на отрезке \( [e^1; e^4] \), то есть \( [e; e^4] \).

Найдем производную функции \( f(t) \): \( f'(t) = 2t - 10 \).

Приравняем производную к нулю:

\( 2t - 10 = 0 \) \( \Rightarrow 2t = 10 \) \( \Rightarrow t = 5 \).

Найдем значение \( e \) и \( e^4 \): \( e \approx 2.718 \), \( e^4 · 5.47 \).

Так как \( t=5 \) находится внутри отрезка \( [e; e^4] · 2.718 \; \approx \; 5.47 \), нам нужно вычислить значения функции в точках \( t=e \), \( t=5 \) и \( t=e^4 \).

Вычислим значения функции:

• При \( t = e · 2.718 \): \( f(e) = e^2 - 10e - 1 · 2.718^2 - 10 · 2.718 - 1 · 7.389 - 27.18 - 1 = -20.791 \).
• При \( t = 5 \): \( f(5) = 5^2 - 10 · 5 - 1 = 25 - 50 - 1 = -26 \).
• При \( t = e^4 · 5.47 \): \( f(e^4) = (e^4)^2 - 10e^4 - 1 · 54.6 · 54.6 - 10 · 54.6 - 1 = 2981.0 - 546 - 1 = 2434.0 \).

Сравним полученные значения: -20.791, -26, 2434.0.

Наименьшее значение функции равно -26.

Ответ: -26.