Задание 41. Вычисление неопределенных интегралов Вариант 1 1. Найти функцию по ее дифференциалу dy = (4x³-3x²+2x-5) dx, если функция принимает значение 2 при х = 2. 2. Найти интегралы: а) ∫ (4/3 x³ - 1/2 x² + 8) dx; б) ∫ sin²x cosx dx; в) ∫ (e²ˣ + 2) dx. 3. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v = t² - 4t + 3. Найти закон движения точки, если за время t = 3 с она пройдет путь s = 20 м.

1. Найти функцию по ее дифференциалу dy = (4x³ - 3x² + 2x - 5) dx, если функция принимает значение 2 при х = 2.

Чтобы найти функцию, нужно проинтегрировать ее дифференциал:

\( y = \int (4x^3 - 3x^2 + 2x - 5) dx \)

\( y = 4 \int x^3 dx - 3 \int x^2 dx + 2 \int x dx - 5 \int dx \)

\( y = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 5x + C \)

\( y = x^4 - x^3 + x^2 - 5x + C \)

Теперь найдем константу \( C \), используя условие, что при \( x = 2 \) функция \( y = 2 \):

\( 2 = (2)^4 - (2)^3 + (2)^2 - 5(2) + C \)

\( 2 = 16 - 8 + 4 - 10 + C \)

\( 2 = 2 + C \)

\( C = 0 \)

Таким образом, функция:

\( y = x^4 - x^3 + x^2 - 5x \)

Ответ: \( y = x^4 - x^3 + x^2 - 5x \).

2. Найти интегралы:

а) \( \int (\frac{4}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 + 8) dx \)

\( \int (\frac{4}{3} x^3 - \frac{1}{2} x^2 + 8) dx = \frac{4}{3} \int x^3 dx - \frac{1}{2} \int x^2 dx + 8 \int dx \)

\( = \frac{4}{3} \cdot \frac{x^4}{4} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} + 8x + C \)

\( = \frac{x^4}{3} - \frac{x^3}{6} + 8x + C \)

б) \( \int \sin^2x \cos x dx \)

Используем замену \( u = \sin x \), тогда \( du = \cos x dx \):

\( \int u^2 du = \frac{u^3}{3} + C = \frac{\sin^3 x}{3} + C \)

в) \( \int (e^{2x} + 2) dx \)

\( \int (e^{2x} + 2) dx = \int e^{2x} dx + \int 2 dx \)

Для \( \int e^{2x} dx \) сделаем замену \( u = 2x \), тогда \( du = 2 dx \), \( dx = \frac{1}{2} du \):

\( \int e^u \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int e^u du = \frac{1}{2} e^u + C_1 = \frac{1}{2} e^{2x} + C_1 \)

\( \int 2 dx = 2x + C_2 \)

Суммируя, получаем:

\( \frac{1}{2} e^{2x} + 2x + C \)

Ответ: а) \( \frac{x^4}{3} - \frac{x^3}{6} + 8x + C \); б) \( \frac{\sin^3 x}{3} + C \); в) \( \frac{1}{2} e^{2x} + 2x + C \).

3. Скорость точки, движущейся прямолинейно, задана уравнением v = t² - 4t + 3. Найти закон движения точки, если за время t = 3 с она пройдет путь s = 20 м.

Закон движения \( s(t) \) находится как интеграл от скорости \( v(t) \):

\( s(t) = \int v(t) dt = \int (t^2 - 4t + 3) dt \)

\( s(t) = \frac{t^3}{3} - 4 \frac{t^2}{2} + 3t + C \)

\( s(t) = \frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t + C \)

Используем условие, что при \( t = 3 \) с путь \( s = 20 \) м:

\( 20 = \frac{(3)^3}{3} - 2(3)^2 + 3(3) + C \)

\( 20 = \frac{27}{3} - 2(9) + 9 + C \)

\( 20 = 9 - 18 + 9 + C \)

\( 20 = 0 + C \)

\( C = 20 \)

Следовательно, закон движения точки:

\( s(t) = \frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t + 20 \)

Ответ: \( s(t) = \frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t + 20 \).