Задание 48. Запишите многочлен в стандартном виде и определите его степень. Важно знать: если в многочлене все члены записаны в стандартном виде и приведены подобные члены, то говорят, что многочлен записан в стандартном виде. Степень многочлена – наибольшая степень входящих в него одночленов.

Решение:

1. \( 7x^7 - 2x^5 + 4 - x^7 + 5x^2 \)

Приводим подобные члены: \( (7x^7 - x^7) - 2x^5 + 5x^2 + 4 \)

\( 6x^7 - 2x^5 + 5x^2 + 4 \)

Степень многочлена: 7.

2. \( 0.5y^3 - 0.5y^2 + 0.5y^3 - 0.5y^2 + 1 \)

Приводим подобные члены: \( (0.5y^3 + 0.5y^3) + (-0.5y^2 - 0.5y^2) + 1 \)

\( y^3 - y^2 + 1 \)

Степень многочлена: 3.

3. \( 5x^2x^3 - 3x^3x + 2x^3x^2 - 7x^2x^2 + 8xx^2x \)

Упрощаем члены: \( 5x^5 - 3x^4 + 2x^5 - 7x^4 + 8x^4 \)

Приводим подобные члены: \( (5x^5 + 2x^5) + (-3x^4 - 7x^4 + 8x^4) \)

\( 7x^5 + (-10x^4 + 8x^4) \)

\( 7x^5 - 2x^4 \)

Степень многочлена: 5.

4. \( 12a^2b + 16ab^2 - 20a^2b + 5ab^2 - 20b^2a - 20 \)

Приводим подобные члены: \( (12a^2b - 20a^2b) + (16ab^2 + 5ab^2 - 20ab^2) - 20 \)

\( -8a^2b + (21ab^2 - 20ab^2) - 20 \)

\( -8a^2b + ab^2 - 20 \)

Степень многочлена: 3 (в членах \( a^2b \) и \( ab^2 \)).

5. \( 8a^2 + a^5 - 3a^2 \cdot 2 + 5a \cdot a - 4a^5 \)

Упрощаем члены: \( 8a^2 + a^5 - 6a^2 + 5a^2 - 4a^5 \)

Приводим подобные члены: \( (a^5 - 4a^5) + (8a^2 - 6a^2 + 5a^2) \)

\( -3a^5 + (2a^2 + 5a^2) \)

\( -3a^5 + 7a^2 \)

Степень многочлена: 5.

6. \( 3a \cdot 5a^2 - 2a^2 - 6a^3 + 7a^2 + 3a^2 \cdot (-a) \)

Упрощаем члены: \( 15a^3 - 2a^2 - 6a^3 + 7a^2 - 3a^3 \)

Приводим подобные члены: \( (15a^3 - 6a^3 - 3a^3) + (-2a^2 + 7a^2) \)

\( (9a^3 - 3a^3) + 5a^2 \)

\( 6a^3 + 5a^2 \)

Степень многочлена: 3.

7. \( 36aba^2b - 12a^3bb - 8a^3 \cdot 2b^2 - 2ab^3 \cdot 5a^2 \)

Упрощаем члены: \( 36a^3b^2 - 12a^3b^3 - 16a^3b^2 - 10a^3b^2 \)

Приводим подобные члены: \( (36a^3b^2 - 16a^3b^2 - 10a^3b^2) - 12a^3b^3 \)

\( (20a^3b^2 - 10a^3b^2) - 12a^3b^3 \)

\( 10a^3b^2 - 12a^3b^3 \)

Степень многочлена: 6 (в члене \( a^3b^3 \)).

8. \( \frac{1}{6} t \cdot 18k^2 - 10k \cdot \frac{2}{5} tk - \frac{2}{3} tk \cdot 9k - \frac{1}{8} k \)

Упрощаем члены: \( 3tk^2 - 4tk^2 - 6tk^2 - \frac{1}{8} k \)

Приводим подобные члены: \( (3tk^2 - 4tk^2 - 6tk^2) - \frac{1}{8} k \)

\( (-tk^2 - 6tk^2) - \frac{1}{8} k \)

\( -7tk^2 - \frac{1}{8} k \)

Степень многочлена: 3 (в члене \( tk^2 \)).

9. \( 0.2a^2b \cdot 0.5ab - 3abab + 1.1a \cdot (-a^2b^2) - 5ab^2a \)

Упрощаем члены: \( 0.1a^3b^2 - 3a^2b + (-1.1a^3b^2) - 5a^3b^2 \)

\( 0.1a^3b^2 - 3a^2b - 1.1a^3b^2 - 5a^3b^2 \)

Приводим подобные члены: \( (0.1a^3b^2 - 1.1a^3b^2 - 5a^3b^2) - 3a^2b \)

\( (-a^3b^2 - 5a^3b^2) - 3a^2b \)

\( -6a^3b^2 - 3a^2b \)

Степень многочлена: 5 (в члене \( a^3b^2 \)).

10. \( \frac{1}{11} mn \cdot 22n^2m + \frac{1}{7} np \cdot 28mp^2 + 3mn^3p - 6mp \cdot \frac{1}{3} n^3 \)

Упрощаем члены: \( 2m^2n^3 + 4mn^2p^3 + 3mn^3p - 2mn^3p \)

Приводим подобные члены: \( 2m^2n^3 + 4mn^2p^3 + (3mn^3p - 2mn^3p) \)

\( 2m^2n^3 + 4mn^2p^3 + mn^3p \)

Степень многочлена: 5 (в члене \( mn^2p^3 \)).

Ответ:

1. \( 6x^7 - 2x^5 + 5x^2 + 4 \), степень 7.


2. \( y^3 - y^2 + 1 \), степень 3.


3. \( 7x^5 - 2x^4 \), степень 5.


4. \( -8a^2b + ab^2 - 20 \), степень 3.


5. \( -3a^5 + 7a^2 \), степень 5.


6. \( 6a^3 + 5a^2 \), степень 3.


7. \( 10a^3b^2 - 12a^3b^3 \), степень 6.


8. \( -7tk^2 - \frac{1}{8} k \), степень 3.


9. \( -6a^3b^2 - 3a^2b \), степень 5.


10. \( 2m^2n^3 + 4mn^2p^3 + mn^3p \), степень 5.