ЗАДАНИЕ №4 Найти область определения функции f(x) = 1 / sqrt(x^2 + 2x - 3) x E

Решение:

Чтобы найти область определения функции, нужно учесть два условия:

1. Выражение под квадратным корнем должно быть больше нуля (так как корень находится в знаменателе дроби).
2. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Объединяя эти два условия, получаем, что выражение под корнем должно быть строго больше нуля:

\[ x^2 + 2x - 3 > 0 \]

Найдем корни квадратного трехчлена, приравняв его к нулю:

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Используем формулу дискриминанта: $$D = b^2 - 4ac$$

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

Найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]

\[ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]

Теперь построим параболу $$y = x^2 + 2x - 3$$. Ветви параболы направлены вверх, так как коэффициент при $$x^2$$ равен 1 (больше нуля). Парабола пересекает ось X в точках -3 и 1.

Функция $$x^2 + 2x - 3$$ будет больше нуля, когда $$x$$ находится вне отрезка между корнями:

\[ x < -3 \text{ или } x > 1 \]

Это и есть область определения функции.

Ответ: x ∈ (–∞; –3) ∪ (1; +∞)