Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
ЗАДАНИЕ 4 Введите ответ в числовое поле Найдите множество значений функции y = - \frac{3x+5}{2x^2-4}. В ответ запишите наименьшее положительное число, входящее в множество значений данной функции.
Ответ:
Краткое пояснение:
Для нахождения множества значений функции, нам необходимо проанализировать её поведение. В данном случае, мы имеем дело с дробно-рациональной функцией, и для определения диапазона значений, мы можем использовать методы анализа, такие как исследование асимптот и экстремумов, или же приравнять функцию к некоторой константе 'a' и исследовать полученное квадратное уравнение.
Пошаговое решение:
- Шаг 1: Определим область допустимых значений (ОДЗ) для функции. Знаменатель не должен быть равен нулю: \( 2x^2 - 4 eq 0 \). \( 2x^2 eq 4 \), \( x^2 eq 2 \), следовательно, \( x eq \sqrt{2} \) и \( x eq -\sqrt{2} \).
- Шаг 2: Приравняем функцию к переменной \( y \) и преобразуем уравнение:
\( y = -\frac{3x+5}{2x^2-4} \)
\( y(2x^2-4) = -(3x+5) \)
\( 2yx^2 - 4y = -3x - 5 \)
\( 2yx^2 + 3x + (5 - 4y) = 0 \) - Шаг 3: Это квадратное уравнение относительно \( x \). Для того чтобы существовали действительные значения \( x \), дискриминант (D) должен быть неотрицательным, то есть \( D ≥ 0 \).
\( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 2y \), \( b = 3 \), \( c = 5 - 4y \).
\( D = 3^2 - 4(2y)(5 - 4y) ≥ 0 \)
\( 9 - 8y(5 - 4y) ≥ 0 \)
\( 9 - 40y + 32y^2 ≥ 0 \)
\( 32y^2 - 40y + 9 ≥ 0 \) - Шаг 4: Найдем корни квадратного уравнения \( 32y^2 - 40y + 9 = 0 \) для \( y \). Используем формулу дискриминанта: \( D_y = (-40)^2 - 4(32)(9) = 1600 - 1152 = 448 \).
\( \sqrt{D_y} = \sqrt{448} = \sqrt{64 \cdot 7} = 8\sqrt{7} \).
\( y_{1,2} = \frac{40 8\sqrt{7}}{64} = \frac{5 \sqrt{7}}{8} \).
\( y_1 = \frac{5 - \sqrt{7}}{8} \) и \( y_2 = \frac{5 + \sqrt{7}}{8} \). - Шаг 5: Так как коэффициент при \( y^2 \) (32) положительный, парабола направлена вверх, и неравенство \( 32y^2 - 40y + 9 ≥ 0 \) выполняется при \( y ≦ \frac{5 - \sqrt{7}}{8} \) или \( y ≥ \frac{5 + \sqrt{7}}{8} \).
Кроме того, нужно учесть случай, когда \( a = 2y = 0 \), то есть \( y=0 \). В этом случае уравнение \( 2yx^2 + 3x + (5 - 4y) = 0 \) становится линейным: \( 3x + 5 = 0 \), откуда \( x = -5/3 \). Это значение \( x \) входит в ОДЗ, и \( y=0 \) принадлежит множеству значений функции. - Шаг 6: Оценим значения корней. \( \sqrt{7} \) примерно равно 2.64.
\( y_1 ≈ \frac{5 - 2.64}{8} = \frac{2.36}{8} ≈ 0.295 \).
\( y_2 ≈ \frac{5 + 2.64}{8} = \frac{7.64}{8} ≈ 0.955 \).
Множество значений функции: \( (-∞, \frac{5 - \sqrt{7}}{8}] ∪ [\frac{5 + \sqrt{7}}{8}, +∞) \). - Шаг 7: Нам нужно найти наименьшее положительное число, входящее в множество значений. Из полученного множества, наименьшим положительным числом является \( \frac{5 + \sqrt{7}}{8} \).
Ответ: $$\frac{5 + \sqrt{7}}{8}$$
