Задание № 5 (1 балл) Из точки А вне окружности проведены две секущие к окружности, угол между которыми равен 11°. Первая секущая пересекает окружность в точках К₁ и L1, вторая — в точках К₂ и L2, причём K₁L₁ = K₂L₂. Найдите меньшую дугу, заключённую между данными секущими, если дуга K₁L₁, меньшая полуокружности, равна 95°.

Решение:

Пусть \( \alpha \) — угол между секущими, \( \overset{\frown}{K_1L_1} \) и \( \overset{\frown}{K_2L_2} \) — дуги, отсекаемые секущими, \( \overset{\frown}{K_1K_2} \) и \( \overset{\frown}{L_1L_2} \) — дуги между точками пересечения секущих.

По условию задачи:

• \( \alpha = 11^{\circ} \)
• \( \overset{\frown}{K_1L_1} = 95^{\circ} \)
• \( K_1L_1 = K_2L_2 \). Так как хорды равны, то и соответствующие им меньшие дуги равны: \( \overset{\frown}{K_1L_1} = \overset{\frown}{K_2L_2} = 95^{\circ} \)

Формула для угла между двумя секущими, проведёнными из точки вне окружности, выражается через дуги, заключённые между сторонами угла:

\[ \alpha = \frac{1}{2} \left| \overset{\frown}{L_1L_2} - \overset{\frown}{K_1K_2} \right| \]

• Подставим известные значения:

\[ 11^{\circ} = \frac{1}{2} \left| \overset{\frown}{L_1L_2} - \overset{\frown}{K_1K_2} \right| \]\[ 22^{\(\circ\)} = \(\left\)| \(\overset{\frown}{L_1L_2}\) - \(\overset{\frown}{K_1K_2}\) \(\right\)| \)

Рассмотрим общую длину окружности. Окружность состоит из дуги \( \overset{\frown}{K_1L_1} \), дуги \( \overset{\frown}{K_1K_2} \), дуги \( \overset{\frown}{K_2L_2} \) и дуги \( \overset{\frown}{L_1L_2} \). Дуга \( \overset{\frown}{K_1L_1} \) и дуга \( \overset{\frown}{K_2L_2} \) равны \( 95^{\circ} \).

Пусть \( x = \overset{\frown}{K_1K_2} \) и \( y = \overset{\frown}{L_1L_2} \). Тогда:

• \( 22^{\circ} = |y - x| \)
• \( 95^{\circ} + x + 95^{\circ} + y = 360^{\circ} \)
• \( 190^{\circ} + x + y = 360^{\circ} \)
• \( x + y = 360^{\circ} - 190^{\circ} \)
• \( x + y = 170^{\circ} \)

Мы имеем систему уравнений:

• \( y - x = 22^{\circ} \) (или \( x - y = 22^{\circ} \))
• \( y + x = 170^{\circ} \)

Случай 1: \( y - x = 22^{\circ} \)

• Сложим два уравнения: \( (y - x) + (y + x) = 22^{\circ} + 170^{\circ} \)
• \( 2y = 192^{\circ} \)
• \( y = 96^{\circ} \)
• Тогда \( x = 170^{\circ} - 96^{\circ} = 74^{\circ} \)

Случай 2: \( x - y = 22^{\circ} \)

• Сложим два уравнения: \( (x - y) + (y + x) = 22^{\circ} + 170^{\circ} \)
• \( 2x = 192^{\circ} \)
• \( x = 96^{\circ} \)
• Тогда \( y = 170^{\circ} - 96^{\circ} = 74^{\circ} \)

В условии сказано найти меньшую дугу, заключённую между данными секущими. Это означает, что нам нужно найти наименьшее из значений \( x \) и \( y \). В обоих случаях мы получаем пары \( (74^{\circ}, 96^{\circ}) \) и \( (96^{\circ}, 74^{\circ}) \). Меньшая из этих дуг равна \( 74^{\circ} \).

Ответ: 74°.