Задание № 5. (7 балл) В параллелограмме ABCD из вершин B и D опустили перпендикуляры BK и DM на диагональ AC. Докажите, что BMDK — параллелограмм.

Так как BK и DM перпендикулярны AC, то BK ∥ DM.

Рассмотрим прямоугольные треугольники ABK и CDM. В параллелограмме AB = CD, а ∠BAK = ∠DCM, поскольку AB ∥ CD и AK, CM лежат на AC. Следовательно, треугольники ABK и CDM равны по гипотенузе и острому углу. Поэтому BK = DM.

В четырёхугольнике BMDK противоположные стороны BK и DM равны и параллельны. Значит, BMDK — параллелограмм.