Задание № 5. (7 баллов) На сторонах AB, BC, CD и DA квадрата ABCD отмечены соответственно точки N, P, K, M так, что AN = BP = CK = DM. Докажите, что NK = PM.

Пусть сторона квадрата равна a, а AN = BP = CK = DM = x.

Введём координаты: A(0; 0), B(a; 0), C(a; a), D(0; a). Тогда N(x; 0), P(a; x), K(a − x; a), M(0; a − x).

По формуле расстояния:

NK² = (a − x − x)² + (a − 0)² = (a − 2x)² + a².

PM² = (0 − a)² + (a − x − x)² = a² + (a − 2x)².

Следовательно, NK² = PM². Поскольку длины отрезков неотрицательны, NK = PM.

Что и требовалось доказать.