Задание №5. Через точку пересечения медиан треугольника ABC проведён отрезок DE, параллельный стороне AC. Точки D и E лежат на сторонах AB и BC соответственно. Найдите длину DE, если AC = 30.

Обозначим точку пересечения медиан через G. Центр тяжести G делит медиану, проведённую из вершины B, в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому расстояние от B до G составляет \(\frac{2}{3}\) медианы.

Поскольку \(DE \parallel AC\), треугольники BDE и BAC подобны. Коэффициент подобия равен отношению расстояний от B до параллельных прямых: \(\frac{BD}{BA}=\frac{2}{3}\). Следовательно, \(\frac{DE}{AC}=\frac{2}{3}\) неверно: G лежит на медиане, а уровень линии через G относительно стороны AC составляет \(\frac{1}{3}\) высоты от AC. Значит, \(\frac{DE}{AC}=\frac{1}{3}\).

Тогда \(DE=30\cdot\frac{1}{3}=10\).

Ответ: 10.