Задание 5. Дано: 5 < √26 < 5,1; 3,6 < √13 < 3,7. Оцените значения выражений: 1) −0,2√26; 2) 6/√13; 3) √26 − √13; 4) √(26/13); 5) √13 − 0,5√26.

1) Умножение на отрицательное число меняет направление неравенства: \(-0,2\cdot5,1<-0,2\sqrt{26}<-0,2\cdot5\). Следовательно, \(-1,02<-0,2\sqrt{26}<-1\).

2) Так как знаменатель положителен, при увеличении \(\sqrt{13}\) дробь уменьшается: \(\frac{6}{3,7}<\frac{6}{\sqrt{13}}<\frac{6}{3,6}\). Значит, \(\frac{60}{37}<\frac{6}{\sqrt{13}}<\frac{5}{3}\).

3) Для нижней границы вычитаем наибольшую оценку второго корня, для верхней — наименьшую: \(5-3,7<\sqrt{26}-\sqrt{13}<5,1-3,6\). Поэтому \(1,3<\sqrt{26}-\sqrt{13}<1,5\).

4) \(\sqrt{\frac{26}{13}}=\frac{\sqrt{26}}{\sqrt{13}}\). Используя оценки положительных корней, получаем \(\frac{5}{3,7}<\sqrt{\frac{26}{13}}<\frac{5,1}{3,6}\), то есть \(\frac{50}{37}<\sqrt{\frac{26}{13}}<\frac{17}{12}\).

5) Нижнюю границу получаем из нижней оценки \(\sqrt{13}\) и верхней оценки \(\sqrt{26}\); верхнюю — из верхней оценки \(\sqrt{13}\) и нижней оценки \(\sqrt{26}\): \(3,6-0,5\cdot5,1<\sqrt{13}-0,5\sqrt{26}<3,7-0,5\cdot5\). Следовательно, \(1,05<\sqrt{13}-0,5\sqrt{26}<1,2\).