Задание 5: Даны координаты точек А, В,С.. Вычислить: 1) пр (АВ+СВ) (2АС+3СВ); 2) |AB+4BC|; 3) ∠((AB-CB), AB); 4) орт вектора AB; 5) ((AB+4BC). (BA-AC)); 6) [(AB+2BC), (CB-AB)]; 7) AB·BC·AC: Даны точки: A(7;1;2), B(-5;3;-2), C(3;2;5).

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

Найдем координаты векторов:

• Вектор AB: B - A = (-5 - 7; 3 - 1; -2 - 2) = (-12; 2; -4)
• Вектор BC: C - B = (3 - (-5); 2 - 3; 5 - (-2)) = (8; -1; 7)
• Вектор AC: C - A = (3 - 7; 2 - 1; 5 - 2) = (-4; 1; 3)
• Вектор CB: B - C = (-5 - 3; 3 - 2; -2 - 5) = (-8; 1; -7)
• Вектор BA: A - B = (7 - (-5); 1 - 3; 2 - (-2)) = (12; -2; 4)

Вычислим значения по пунктам:

1. 1) Проекция вектора (2AC + 3CB) на вектор (AB + CB):
   1. Найдем 2AC + 3CB: 2*(-4; 1; 3) + 3*(-8; 1; -7) = (-8; 2; 6) + (-24; 3; -21) = (-32; 5; -15)
   2. Найдем AB + CB: (-12; 2; -4) + (-8; 1; -7) = (-20; 3; -11)
   3. Найдем скалярное произведение: (-32)*(-20) + 5*3 + (-15)*(-11) = 640 + 15 + 165 = 820
   4. Найдем квадрат длины вектора (AB + CB): (-20)^2 + 3^2 + (-11)^2 = 400 + 9 + 121 = 530
   5. Проекция = Скалярное произведение / Длина вектора (AB + CB) = 820 / \(\sqrt{530}\)
2. 2) |AB + 4BC|:
   1. Найдем AB + 4BC: (-12; 2; -4) + 4*(8; -1; 7) = (-12; 2; -4) + (32; -4; 28) = (20; -2; 24)
   2. Найдем длину вектора: \(\sqrt{20^2 + (-2)^2 + 24^2}\) = \(\sqrt{400 + 4 + 576}\) = \(\sqrt{980}\) = \(14\sqrt{5}\)
3. 3) ∠((AB - CB), AB):
   1. Найдем AB - CB: (-12; 2; -4) - (-8; 1; -7) = (-12 + 8; 2 - 1; -4 + 7) = (-4; 1; 3)
   2. Найдем скалярное произведение: (-4)*(-12) + 1*2 + 3*(-4) = 48 + 2 - 12 = 38
   3. Найдем длину вектора AB: \(\sqrt{(-12)^2 + 2^2 + (-4)^2}\) = \(\sqrt{144 + 4 + 16}\) = \(\sqrt{164}\) = \(2\sqrt{41}\)
   4. Найдем длину вектора (AB - CB): \(\sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 3^2}\) = \(\sqrt{16 + 1 + 9}\) = \(\sqrt{26}\)
   5. Найдем косинус угла: cos(∠) = Скалярное произведение / (Длина AB * Длина (AB - CB)) = 38 / (\(2\sqrt{41}\) * \(\sqrt{26}\)) = 19 / \(\sqrt{1066}\)
   6. Угол ∠ = arccos(19 / \(\sqrt{1066}\))
4. 4) Орт вектора AB:
   1. Найдем длину вектора AB: \(\sqrt{164}\) = \(2\sqrt{41}\)
   2. Орт = Вектор AB / Длина вектора AB = (-12; 2; -4) / \(2\sqrt{41}\) = (-6/\(\sqrt{41}\); 1/\(\sqrt{41}\); -2/\(\sqrt{41}\))
5. 5) ((AB + 4BC) · (BA - AC)):
   1. У нас уже есть AB + 4BC = (20; -2; 24)
   2. Найдем BA - AC: (12; -2; 4) - (-4; 1; 3) = (12 + 4; -2 - 1; 4 - 3) = (16; -3; 1)
   3. Найдем скалярное произведение: 20*16 + (-2)*(-3) + 24*1 = 320 + 6 + 24 = 350
6. 6) [(AB + 2BC) · (CB - AB)]:
   1. Найдем AB + 2BC: (-12; 2; -4) + 2*(8; -1; 7) = (-12; 2; -4) + (16; -2; 14) = (4; 0; 10)
   2. Найдем CB - AB: (-8; 1; -7) - (-12; 2; -4) = (-8 + 12; 1 - 2; -7 + 4) = (4; -1; -3)
   3. Найдем скалярное произведение: 4*4 + 0*(-1) + 10*(-3) = 16 + 0 - 30 = -14
7. 7) AB · BC · AC:
   1. Найдем длину AB: \(\sqrt{164}\)
   2. Найдем длину BC: \(\sqrt{8^2 + (-1)^2 + 7^2}\) = \(\sqrt{64 + 1 + 49}\) = \(\sqrt{114}\)
   3. Найдем длину AC: \(\sqrt{(-4)^2 + 1^2 + 3^2}\) = \(\sqrt{16 + 1 + 9}\) = \(\sqrt{26}\)
   4. Перемножим длины: \(\sqrt{164} \cdot \sqrt{114} \cdot \sqrt{26}\) = \(\sqrt{164 \cdot 114 \cdot 26}\) = \(\sqrt{482256}\) = 694.44...

Ответ:

• 1) \(\frac{820}{\sqrt{530}}\);
• 2) \(14\sqrt{5}\);
• 3) arccos(\(\frac{19}{\sqrt{1066}}\));
• 4) \((-\frac{6}{\sqrt{41}}; \frac{1}{\sqrt{41}}; -\frac{2}{\sqrt{41}})\);
• 5) 350;
• 6) -14;
• 7) \(\sqrt{482256}\)