Задание № 5. Диагонали параллелограмма MNPQ пересекаются в точке O. Выразите через векторы \(\vec a=\overrightarrow{MN}\) и \(\vec b=\overrightarrow{MQ}\) векторы: 1. \(\overrightarrow{QO}-\overrightarrow{OM}\); 2. \(\overrightarrow{QP}-\overrightarrow{NP}\).

В параллелограмме диагонали делятся точкой пересечения пополам. Возьмём точку M за начало отсчёта: тогда \(\overrightarrow{MN}=\vec a\), \(\overrightarrow{MQ}=\vec b\), а \(\overrightarrow{MP}=\vec a+\vec b\).

1. Так как O — середина диагонали MP, \(\overrightarrow{MO}=\frac{\vec a+\vec b}{2}\), поэтому \(\overrightarrow{OM}=-\frac{\vec a+\vec b}{2}\). Кроме того, \(\overrightarrow{QO}=\overrightarrow{QM}+\overrightarrow{MO}=-\vec b+\frac{\vec a+\vec b}{2}=\frac{\vec a-\vec b}{2}\). Следовательно, \(\overrightarrow{QO}-\overrightarrow{OM}=\frac{\vec a-\vec b}{2}+\frac{\vec a+\vec b}{2}=\vec a\).
2. \(\overrightarrow{QP}=\overrightarrow{MN}=\vec a\), а \(\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MQ}=\vec b\). Поэтому \(\overrightarrow{QP}-\overrightarrow{NP}=\vec a-\vec b\).

Ответ: 1. \(\vec a\); 2. \(\vec a-\vec b\).