Задание 5. Мяч отпустили с некоторой высоты. Он падает вертикально вниз, затем отскакивает вверх на треть [высоты предыдущего падения], снова падает вниз, опять отскакивает на треть и так далее. Когда мяч коснулся земли в четвёртый [раз?], он пролетел суммарно 106 метров. а) С какой высоты его отпустили? Ответ выразите в метрах. б) После какого по счёту отскока от земли высота подъёма окажется меньше одного метра?

В условии обрезано число после слов «в» в фразе о касании земли, поэтому неизвестно, до какого касания считали путь. Ниже решение при прочтении «в четвёртый раз»; если число другое, ответы будут иными.

а) Пусть начальная высота равна \(h\). До четвёртого касания мяч проходит вниз \(h\), затем вверх и вниз на высотах \(h/3\), \(h/9\) и \(h/27\):

\(h+2\left(\frac h3+\frac h9+\frac h{27}\right)=106\).

\(h\left(1+\frac23+\frac29+\frac2{27}\right)=106\), поэтому \(\frac{53h}{27}=106\), откуда \(h=54\) м.

б) При каждом отскоке высота составляет треть высоты предыдущего отскока. После \(k\)-го отскока высота равна \(54/3^k\) м. После четвёртого отскока это \(54/81=2/3\) м, что меньше 1 м. После третьего — \(54/27=2\) м.

Ответ при условии, что путь считали до четвёртого касания земли: а) 54 м; б) после четвёртого отскока.

Чтобы подтвердить ответы, необходима полная строка с числом касания земли.