Задание 5. Найдите наименьшее натуральное n, при котором n^200 > 5^300.

Преобразуем правую часть:

\(5^{300}=(5^3)^{100}\), поэтому \(n^{200}>5^{300}\) равносильно \(n^2>5^3=125\).

Так как \(n\) — натуральное число, получаем \(n>\sqrt{125}=5\sqrt{5}\approx11{,}18\).

Наименьшее натуральное число, удовлетворяющее условию, — \(12\).

Ответ: 12.