Задание 5. Найти OD. На рисунке BE перпендикулярна AC, BE = 18; точка O лежит на BE, BD лежит на BC, OD перпендикулярна BC, а CO — биссектриса угла ACB.

Так как точка O лежит на высоте BE треугольника ABC, а OD перпендикулярна BC, то треугольник BOD прямоугольный. Угол BOD равен углу между BE и OD.

Из рисунка CO — биссектриса угла ACB, поэтому углы между CO и CB, а также CO и CA равны. С учётом перпендикулярности BE и AC и OD и BC получаем, что угол BOD равен углу OCB. Следовательно, в треугольнике BOC равны углы BOC и OCB, поэтому OB = BC.

Поскольку BE — высота, а её длина равна 18, расстояние от O до AC равно 18. Из условия равенства соответствующих углов следует, что расстояние от O до BC, то есть OD, равно половине высоты BE:

\[OD=\frac{BE}{2}=\frac{18}{2}=9.\]

Ответ: 9.