Задание 5. Около равностороннего треугольника АВС описана окружность, радиус которой равен 10√3 см. Найдите: а) площадь треугольника АВС (12 баллов); б) радиус окружности, вписанной в треугольник АВС (10 баллов); в) длину большей дуги АС окружности, описанной около треугольника АВС (15 баллов).

Решение:

1. a) Площадь треугольника АВС:

   Радиус описанной окружности (R) равностороннего треугольника связан со стороной (a) формулой: R = rac{a√{3}}{3}. Нам дан R = 10√3 см.

   Выразим сторону 'a':

   a = rac{3R}{√{3}} = rac{3 imes 10√{3}}{√{3}} = 30 см.

   Площадь равностороннего треугольника (S) вычисляется по формуле: S = rac{a²√{3}}{4}.

   Подставим значение стороны 'a':

   S = rac{30²√{3}}{4} = rac{900√{3}}{4} = 225√{3} см².

2. б) Радиус вписанной окружности:

   Для равностороннего треугольника радиус вписанной окружности (r) равен половине радиуса описанной окружности:

   r = rac{R}{2} = rac{10√{3}}{2} = 5√{3} см.

3. в) Длина большей дуги АС:

   В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусов. Большая дуга АС будет составлять 360° - 60° = 300°.

   Длина дуги (L) вычисляется по формуле: L = rac{α}{360°} imes 2πR, где α - центральный угол.

   Угол АОС, где О - центр окружности, равен 120° (так как треугольник равносторонний). Значит, меньшая дуга АС = 120°, а большая дуга АС = 360° - 120° = 240°.

   Коррекция: В равностороннем треугольнике дуга, стягиваемая одной стороной, равна 120°. Большая дуга АС будет 360° - 120° = 240°.

   L = rac{240°}{360°} imes 2π(10√{3}) = rac{2}{3} imes 20π√{3} = rac{40π√{3}}{3} см.

Ответ:

• а) Площадь треугольника АВС: 225√{3} см².
• б) Радиус вписанной окружности: 5√{3} см.
• в) Длина большей дуги АС: rac{40π√{3}}{3} см.