Задание 5. Ответь на вопрос. В △ABC медиана BM в два раза меньше стороны AB и образует с ней угол 40°. Чему равен ∠ABC?

1. Пусть \(BM=m\), тогда \(AB=2m\), а \(\angle ABM=40°\). Так как BM — медиана, точка M — середина AC, то есть \(MA=MC\).
2. В треугольнике ABM по теореме косинусов \(AM^2=(2m)^2+m^2-2\cdot2m\cdot m\cos40°=m^2(5-4\cos40°)\).
3. Поскольку A, M, C лежат на одной прямой по разные стороны от M, угол между лучами MA и MB равен \(180°-\angle AMB\). Из теоремы синусов в △ABM получаем \(\sin\angle AMB=\frac{AB\sin40°}{AM}\).
4. В △BMC углы при M и стороны BM, MC позволяют определить угол при B. Эквивалентно, можно взять координаты \(B=(0,0)\), \(M=(m,0)\), \(A=(2m\cos40°,2m\sin40°)\); тогда из того, что M — середина AC, следует \(C=(2m-2m\cos40°,-2m\sin40°)\). Скалярное произведение BA и BC даёт \(\cos\angle ABC=-\sin20°\), следовательно, \(\angle ABC=110°\).

Ответ: \(110°\).