Задание 5. Постройте прямоугольник DEF, если D(−2; 5), E(4; 2), F(1; −1), и найдите координаты точек пересечения стороны EF с осью Ox и стороны DE с осью Oy.

Вычислим пересечения сторон с осями по координатам заданных точек.

Прямая EF проходит через E(4; 2) и F(1; −1). Её наклон равен \(\frac{2-(-1)}{4-1}=1\), поэтому уравнение прямой: \(y=x-2\). На оси Ox значение \(y=0\), значит, \(x=2\). Точка пересечения — (2; 0); она принадлежит отрезку EF.

Прямая DE проходит через D(−2; 5) и E(4; 2). Её наклон равен \(\frac{2-5}{4-(-2)}=-\frac{1}{2}\), поэтому уравнение прямой: \(y=4-\frac{x}{2}\). На оси Oy значение \(x=0\), значит, \(y=4\). Точка пересечения — (0; 4); она принадлежит отрезку DE.

Замечание: заданные точки D, E и F не являются последовательными вершинами прямоугольника, поскольку \(\overrightarrow{ED}=(-6; 3)\) и \(\overrightarrow{EF}=(-3; -3)\) не перпендикулярны. Это не мешает найти указанные пересечения сторон.

Ответ: EF ∩ Ox = (2; 0); DE ∩ Oy = (0; 4).